Bonsoir:
permettez moi de mettre ici une illustration pour une question proenant du site www.mathprepa.com
sur le forum .
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TEXTE DE LA QUESTION:
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Bonjour,
Si E=E1xE2(produit cartésien), F inclus dans E, est-il faux que F s'écrit F=F1xF2, avec F1 inclus dans E1 et F2 dans E2?
Si oui, pouvez-vous svp me fournir un contre-exemple. Merci.
REP
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Bonsoir:
Oui,c'est faux.
Un contre exemple:
E_1=E_2=IR
F=le cercle de centre O et de rayon 1.
F={(x,y)€IR² / x²+y²=1}
si F=F_1 X F_2 avec F_1 et F_2 inclus dans IR on aurait F_1 ou F_2 infini (car F est infini).
Absurde car on voit bien que (1,4) n'est pas dans F.
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Pour que tu visualises bien le phénoméne
imagine que les produits de tupe E1xE
sont des pavés......
(uniuon de rectangles ....)
il suffit de prendre un ensemble qui n a pas cette forme pour donner le contre exemple
par exple un cercle,une courbe non rectiligne,une surface non rectanguliare,etc...
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voila pour cette fois
au revoir
j ex
Si par exemple F_1 est infini il comprendrait deux éléments a et a' tls que a² est different de a'².Soit b un élément de F_2.
alors (a,b) et (a',b) appartiennent à
F_1 X F_2
donc aussi à F
et alors:
a²+b²=a'²+b²=1
donc a²=a'²
Absurde avec ce qu est supposé sur a et a'
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le contre exemple en haut est donné car il est instructif sinon voici un autre plus simple
dans IN² F={(1,2),(3,4)}
si F valait E1xE2 on aurait 1€E1 et 4€E2
donc (1,4)€E1xE
Absurde car on voit bien que (1,4) ,n est pas dans F.
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Pour que tu aie une idée sur comment on trouve ces ctres exples....
essaye d imaginer la forme générale des produits E1xE2....
ce sont des pavés
des rectangles ou des reunions de ceux ci....
il suffit donc de choisir des parties qui n ont pas cette forme:
des cercles,des disques, des lignes non rectilignes ou des surfaces non rectangulaires conviennet notamment...
voila pour cette fois
bonne nuit
