slt tout le monde.
exercice:
-soit E l'ensemble des couples(a,b) tel que a et b deux nombres naturels distincts et:a^b=b^a.
1-montrer que si (a,b) apartient à E alors a#0 et b#0 et ln(a)/a=ln(b)/b.
2-on considère la fonction numérique définie sur l'interval ]0,+l'infinie[ par:f(x)=ln(x)/x.
a-2tudier la fonction f et tracer sa courbe représentative.
b-soit m un nombre réel, déreminer géométriquement le nombre des solution de l'équation:f(x)=m.
3-déterminer l'ensemble E.
2.è partie :
soit g la fonction numérique définie par:
g(x)=ln(1+x)/x;x>0 et g(0)=1
1-montrer que g est dérivable sur ]0,+l'infinie[ et déterminer g'(x) ,x>0
2- on pose h(x)=(x/1+x)-ln(1+x)
étudier les variations de h sur ]0,+l'infinie[ et en déduire les variatrions de g sur ]0,+l'infinie[
3-déteminer limh(x) ,x tend vers +l'infinie.
4-a)montrer que g est continue sur [0,+l'infinie[
-b)montrer que pour tout x de [0,+l'infinie[ : x-x^2/2<ln(1+x)<x-x^2/2 +x^3/3
-c)montrer que g est dérivable en 0 à droite et déterminer g'(0)
5- donner le tableau des variations de g et traçer la courbe représentative de g (dans le meme repère ou il y a la courbe de f(x) )
3.è partie :
soit n un nombre naturel non nul,on considère le système:
(Sn) k<x^k<k+1, k appartient à{1,2,3,...,n}
(Sn) est composé de 2n inégalités.
1- ecriver (S1),(S2) et (S3).résoudre ces systèmes dans R.
2-soit x un nombre appartient à R avec x>0
montrer que x est une solution à (Sn) si et seulement si: quel que soit k de{1,2,.......,n}; ln(k)/k<ln(x)<ln(k+1)/k
3-a)comparer :f(3) et g(5)
-b)déterminer le plus grand nombre naturel n pour que le système (Sn) admet au minimum une solution dans R.
_____je me bloque dans la 3.è partie et pour la 1.è partie question :3 je remarque que (a,b)=(2,4) mais je n'arrive pas à le démontrer .si vous avez des réponses postre les svp et mercie
