salam pourriez vous m'aidez?

Salam:

je suis de passage et je n'ai pas le livre avec moi
je te repondrai le soir in chaa ALLAH.

désolé!!

je reporte la rep pour demain in chaa Allah

(je n ai pas le temps !)

au revoir

désolé!!

je reporte la rep pour demain in chaa Allah

(je n ai pas le temps !)

au revoir

Salam

Commençons par l'exo 64:

U_n=sum(k=1..n!,k²/(1+k²))

Une idée assez classique est de voir l'expression

x²/(x²+1)

comme dérivée d'une fonction....et ensuite penser à utiliser

le théoréme des accroissements finis pour estimer la somme..


Pour faciliter la tâche remarquons que:


x²/(x²+1)=1-1/(x²+1)


dont une primitive est x-Arctan(x)=f(x)

C'est la fonction recherchée.

Pour tout k entier f verifie les conditions du thm des

accroissements finis sur l'intervalle [k,k+1]

on ecrit alors:

(1) f(k+1)-f(k)=f'(c_k) avec k<c_k<k+1

comme la fonction x->f'(x)=1-(1/(x²+1))

est strictement croissante sur [k,k+1]

il en resulte que f'(k) <f'(c_k) < f'(k+1)


si bien que pour tout k superieur ou égal à 2

f'(c_(k-1))< f'(k) < f'(c_k)

Vu l'expression (1)que donne l'égalité des accts finis ci-dessus il vient:

f(k)-f(k-1) <f'(k)< f(k+1)-f(k)

en sommant pour k allant de 2 à n:

f(n)-f(1) < sum(k=2..n,f'(k))< f(n+1)-f(2)


le terme du milieu n'est autre que U_n-(1/2)

ainsi n-Arctan(n) <U_n< n+1-Arctan(n+1)-4/5+1/2


soit:

n-Arctan(n) <U_n< n-Arctan(n+1)+7/10


Moralité on prends ce dont on a besoin à savoir

n-Arctan(n) <U_n


lim(n-Arctan(n))=+infty quand n tends vers +infty


donc lim(U_n)=+infty à fortiori.....


Je te laisse lire cette solution et la bien ecrire.


au revoir

merciiii infiniment